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Vorlesungen/lecture-01.tex

@@ -67,7 +67,7 @@
 
 \begin{frame}\frametitle{Prüfung und Prüfungsvorbereitung}
 \begin{itemize}
-\item schritliche Prüfung (90min) am Ende des Sommersemesters, vermutlich online
+\item schriftliche Prüfung (90min) am Ende des Sommersemesters, vermutlich online
 \item prüfungsrelevant:\\
 	kompletter Stoff aus Vorlesung \alert{und} Übung;\\
 	Wiedergeben (Definieren), Anwenden (Rechnen) und Erklären (Beweisen)
@@ -223,7 +223,7 @@
 \begin{itemize}
 \item Was heißt "`berechnen"'?
 \item Welche Probleme kann man auf reellen Computern lösen?
-\item Was wäre wenn wir mächtigere Computer hätten?
+\item Was wäre, wenn wir mächtigere Computer hätten?
 \item Was macht Rechenprobleme "`schwer"' oder "`einfach"'?
 \item Sind alternative Rechenmodelle denkbar?
 \item Welche (mathematischen/physikalischen/biologischen) Systeme können sonst noch rechnen?
@@ -479,7 +479,7 @@
 geschrieben als Wort (Bandinhalt), in dem der Zustand vor der Position des Kopfes eingefügt ist
 \bigskip
 
-\redalert{Übergangsrelation:} Beziehung zwischen zwei Konfigurationen wenn die TM von der ersten in die zweite übergehen kann (deterministisch oder nichtdeterministisch); geschrieben als $\vdash$
+\redalert{Übergangsrelation:} Beziehung zwischen zwei Konfigurationen, wenn die TM von der ersten in die zweite übergehen kann (deterministisch oder nichtdeterministisch); geschrieben als $\vdash$
 \bigskip
 
 \redalert{Lauf:} mögliche Abfolge von Konfigurationen einer TM, beginnend mit der Startkonfiguration; kann endlich oder unendlich sein
@@ -495,7 +495,7 @@
 
 \begin{enumerate}[(1)]
 \item \alert{Transducer:} Ausgabe der TM ist der Inhalt des Bandes, wenn sie hält, oder undefiniert, wenn sie nicht hält (partielle Funktion); Endzustände spielen keine Rolle und können weggelassen werden
-\item \alert{Entscheider:} Ausgabe der TM hat nur zwei Werte: die TM "`akzeptiert"', wenn sie in einem Endzustand hält und sie "`verwirft"' wenn sie in einem Nicht-Endzustand oder gar nicht hält;
+\item \alert{Entscheider:} Ausgabe der TM hat nur zwei Werte: die TM "`akzeptiert"', wenn sie in einem Endzustand hält und sie "`verwirft"' wenn sie in einem Nichtendzustand oder gar nicht hält;
 Bandinhalt beim Halten spielt keine Rolle und kann ignoriert werden
 \end{enumerate}
 
@@ -507,12 +507,12 @@
 
 Wir wissen: {\tiny(aus "`Formale Systeme"', Winter 2020/2021, 19. Vorlesung)}
 
-\theobox{\textbf{Satz:} Jede NTM kann durch eine DTM simuliert werden. Insbesondere akzeptieren deterministische und nichtdeterministische Turingmaschinen die selben Sprachen.}
+\theobox{\emph{Satz:} Jede NTM kann durch eine DTM simuliert werden. Insbesondere akzeptieren deterministische und nichtdeterministische Turingmaschinen dieselben Sprachen.}
 \pause
 
 Allgemeiner gilt: kein bekanntes Berechnungsmodell kann mehr berechnen als TMs
 
-\anybox{purple}{\textbf{Church-Turing-These:} Jede (partielle) Funktion, die intuitiv als berechenbar angesehen werden kann, ist auch mit einer Turingmaschine berechenbar.}
+\anybox{purple}{\emph{Church-Turing-These:} Jede (partielle) Funktion, die intuitiv als berechenbar angesehen werden kann, ist auch mit einer Turingmaschine berechenbar.}
 
 \begin{itemize}
 \item \emph{Lesart 1:} Vorschlag einer mathematischen Definition der intuitiven Idee von Berechenbarkeit
@@ -533,11 +533,11 @@
 \bigskip
 
 \anybox{yellow}{
-Was erwartet uns als nächstes?
+Was erwartet uns als Nächstes?
 \begin{itemize}
 \item Probleme
 \item Paradoxien
-\item Phenomenal große Zahlen
+\item Phänomenal große Zahlen
 \end{itemize}
 }
 

Vorlesungen/lecture-02.tex

@@ -47,9 +47,9 @@
 	Die Eingabe wird auf das erste Band geschrieben.
 \end{itemize}
 
-\theobox{Satz: Deterministische und nichtdeterministische Turingmaschinen mit einer beliebigen Anzahl von Bändern können die gleichen Berechnungen ausführen.}
+\theobox{\emph{Satz:} Deterministische und nichtdeterministische Turingmaschinen mit einer beliebigen Anzahl von Bändern können die gleichen Berechnungen ausführen.}
 
-Details siehe Vorlesung Formale Systeme (Winter 2017/2018, Vorlesungen 18 und 19)
+Details siehe Vorlesung Formale Systeme (Winter 2020/2021, Vorlesungen 18 und 19)
 
 \end{frame}
 
@@ -78,7 +78,7 @@
 Eine Turingmaschine kann eine Funktion von Eingabewörtern auf Ausgabewörter definieren:\medskip
 
 \defbox{Eine DTM $\Smach{M}$ \redalert{berechnet} eine partielle Funktion $f_{\Smach{M}}:\Sigma^*\to\Sigma^*$ wie folgt.
-Für ein Wort $w\in\Sigma^*$ ist $f_{\Smach{M}}(w)=v$ wenn $\Smach{M}$ bei Eingabe $w$ mit einem Band anhält, auf dem 
+Für ein Wort $w\in\Sigma^*$ ist $f_{\Smach{M}}(w)=v$, wenn $\Smach{M}$ bei Eingabe $w$ mit einem Band anhält, auf dem 
 nur $v$ steht, d.h., wenn der Bandinhalt nach dem Halten die Form $v\blank\blank\blank\cdots$ hat.}\pause
 
 Es gibt also zwei Fälle, in denen $f_{\Smach{M}}(w)$ undefiniert ist:
@@ -122,7 +122,7 @@
 %
 Die \redalert{durch $\Smach{M}$ aufgezählte Sprache} ist die Menge aller Wörter
 aus $\Sigma^*$, die $\Smach{M}$ ausgibt, wenn $\Smach{M}$ auf dem leeren Band gestartet wird.\\
-{\tiny(Anmerkung: Die Definition erlaubt die Ausgabe von Wörtern aus $\Gamma^*\setminus\Sigma^*$. Diese gehören für uns nicht zur aufgezählten Sprache.}
+{\tiny(Anmerkung: Die Definition erlaubt die Ausgabe von Wörtern aus $\Gamma^*\setminus\Sigma^*$. Diese gehören für uns nicht zur aufgezählten Sprache.)}
 }\bigskip
 
 Die durch $\Smach{M}$ aufgezählte Sprache kann unendlich sein, wenn $\Smach{M}$ auf der leeren Eingabe nicht hält.
@@ -161,7 +161,7 @@
 
 \begin{frame}[t]\frametitle{Aufzählbar = semi-entscheidbar (1)}
 
-\theobox{Satz: Eine Sprache $\Slang{L}$ ist genau dann semi-entscheidbar, wenn es
+\theobox{\emph{Satz:} Eine Sprache $\Slang{L}$ ist genau dann semi-entscheidbar, wenn es
 einen Aufzähler für $\Slang{L}$ gibt.
 }\pause
 
@@ -178,7 +178,7 @@
 
 \begin{frame}[t]\frametitle{Aufzählbar = semi-entscheidbar (2)}
 
-\theobox{Satz: Eine Sprache $\Slang{L}$ ist genau dann semi-entscheidbar, wenn es
+\theobox{\emph{Satz:} Eine Sprache $\Slang{L}$ ist genau dann semi-entscheidbar, wenn es
 einen Aufzähler für $\Slang{L}$ gibt.
 }\pause
 
@@ -211,7 +211,7 @@
 \item \alert{Tupel} (Listen) von Wörtern (oder natürlichen Zahlen, \ldots), können kodiert werden, indem man zum Eingabealphabet ein zusätzliches Trennzeichen $\Sterm{\#}$ hinzufügt
 \end{itemize}\bigskip\pause
 
-\examplebox{Beispiel: Mithilfe dieser Kodierungen können wir z.B. von berechenbaren Funktionen $\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ oder von
+\examplebox{\emph{Beispiel:} Mithilfe dieser Kodierungen können wir z.B. von berechenbaren Funktionen $\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ oder von
 semi-entscheidbaren Teilmengen von $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ sprechen.}\medskip
 
 Anmerkung: Oft gibt es viele denkbare Kodierungen eines Objektes als Wort. Vorerst sollen uns die Details nicht interessieren, solange klar ist, dass eine TM die Kodierung entschlüsseln kann.
@@ -224,22 +224,22 @@
 
 Berechenbarkeit von Funktionen und Sprachen sind eng verwandt.
 
-\theobox{Satz: Eine Sprache $\Slang{L}$ ist genau dann entscheidbar, wenn die folgende Funktion $f:\Sigma^*\to\Sigma^*$ berechenbar ist (o.B.d.A. sei $\{\Sterm{0},\Sterm{1}\}\subseteq\Sigma$):
+\theobox{\emph{Satz:} Eine Sprache $\Slang{L}$ ist genau dann entscheidbar, wenn die folgende Funktion $f:\Sigma^*\to\Sigma^*$ berechenbar ist (o.B.d.A. sei $\{\Sterm{0},\Sterm{1}\}\subseteq\Sigma$):
 \[f(w)= \left\{\begin{array}{ll}
 \Sterm{1} & \text{falls $w\in\Slang{L}$}\\
 \Sterm{0} & \text{falls $w\notin\Slang{L}$}\\
 \end{array}\right.\]}\pause
 
 {\footnotesize
-\emph{Beweisskizze:} "`$\Rightarrow$"' Ein Entscheider für $\Slang{L}$ kann in eine TM für $f$ umgebaut werden. Dazu verwendet man "`Subroutinen"', die den Bandinhalt löschen und mit einem einzelnen Zeichen \Sterm{1} oder \Sterm{0} ersetzten. Diese Routinen werden aufgerufen, wenn der ursprüngliche Entscheider halten würde: die \Sterm{1}-Routine beim Halten in einem Endzustand, die \Sterm{0}-Routine andernfalls.\medskip
+\emph{Beweisskizze:} "`$\Rightarrow$"' Ein Entscheider für $\Slang{L}$ kann in eine TM für $f$ umgebaut werden. Dazu verwendet man "`Subroutinen"', die den Bandinhalt löschen und mit einem einzelnen Zeichen \Sterm{1} oder \Sterm{0} ersetzen. Diese Routinen werden aufgerufen, wenn der ursprüngliche Entscheider halten würde: die \Sterm{1}-Routine beim Halten in einem Endzustand, die \Sterm{0}-Routine andernfalls.\medskip
 
 {\tiny Eventuell muss man den Entscheider außerdem so modifizieren, dass das
 Zeichen $\blank$ nur am Ende des verwendeten Bandinhaltes vorkommen kann (sonst wird das Löschen des gesamten Bandes problematisch!).
 
 }
 \smallskip
 
-"`$\Leftarrow$"' Eine TM, die $f$ berechnet, kann in einen Entscheider für $\Slang{L}$ umgebaut werden. Die Idee ist wie zuvor, aber die Subroutinen prüfen jetzt, ob das Band \Sterm{1} oder \Sterm{0} enthält und wechseln entsprechend in einen akzeptierenden oder nicht-akzeptierenden Zustand.\qed
+"`$\Leftarrow$"' Eine TM, die $f$ berechnet, kann in einen Entscheider für $\Slang{L}$ umgebaut werden. Die Idee ist wie zuvor, aber die Subroutinen prüfen jetzt, ob das Band \Sterm{1} oder \Sterm{0} enthält und wechseln entsprechend in einen akzeptierenden oder nichtakzeptierenden Zustand.\qed
 
 }
 
@@ -249,7 +249,7 @@
 
 Für die Umkehrung stellen wir Funktionen als Mengen dar:
 
-\theobox{Satz: Eine partielle Funktion $f$ ist genau dann berechenbar, wenn die Sprache
+\theobox{\emph{Satz:} Eine partielle Funktion $f$ ist genau dann berechenbar, wenn die Sprache
 \[\textsf{Graph}_f=\{\tuple{w,f(w)}\mid w\in\Sigma^*,\; f(w)\text{ definiert}\}\] semi-entscheidbar ist.
 Ist $f$ total, dann ist $\textsf{Graph}_f$ sogar entscheidbar.}
 
@@ -270,7 +270,7 @@
 
 Für die Umkehrung stellen wir Funktionen als Mengen dar:
 
-\theobox{Satz: Eine partielle Funktion $f$ ist genau dann berechenbar, wenn die Sprache
+\theobox{\emph{Satz:} Eine partielle Funktion $f$ ist genau dann berechenbar, wenn die Sprache
 \[\textsf{Graph}_f=\{\tuple{w,f(w)}\mid w\in\Sigma^*,\; f(w)\text{ definiert}\}\] semi-entscheidbar ist.
 Ist $f$ total, dann ist $\textsf{Graph}_f$ sogar entscheidbar.}\pause
 
@@ -297,7 +297,7 @@
 
 \begin{frame}\frametitle{Es gibt unentscheidbare Probleme}
 
-\theobox{Satz: Es gibt Sprachen und Funktionen, die nicht berechenbar sind.}
+\theobox{\emph{Satz:} Es gibt Sprachen und Funktionen, die nicht berechenbar sind.}
 
 \pause
 Dies kann man wie folgt zeigen:
@@ -369,7 +369,7 @@
  \visible<2->{\Slangsub{L}{d} & - & - & \times & \ldots & }
 \end{array}\]\pause
 \item Wir konstruieren eine Sprache $\Slangsub{L}{d}$ durch \alert{Diagonalisierung}.\\
-Formal: $w_i\in \Slangsub{L}{d}$ genau dann wenn $w_i\notin\Slangsub{L}{i}$.\pause
+Formal: $w_i\in \Slangsub{L}{d}$ genau dann, wenn $w_i\notin\Slangsub{L}{i}$.\pause
 \end{itemize}
 Dann kommt $\Slangsub{L}{d}$ in der Tabelle nicht vor. Widerspruch.
 
@@ -382,7 +382,7 @@
 
 Es reicht nicht aus, dass wir nicht wissen, wie ein Problem algorithmisch gelöst werden kann!\bigskip
 
-\examplebox{Beispiel: Sei $\Slang{L}_\pi$ die Menge aller endlichen Ziffernfolgen, die in der Dezimaldarstellung von $\pi$ vorkommen. Zum Beispiel gilt $\Sterm{14159265}\in\Slang{L}_\pi$ und $\Sterm{41}\in\Slang{L}_\pi$. \\[1ex]
+\examplebox{\emph{Beispiel:} Sei $\Slang{L}_\pi$ die Menge aller endlichen Ziffernfolgen, die in der Dezimaldarstellung von $\pi$ vorkommen. Zum Beispiel gilt $\Sterm{14159265}\in\Slang{L}_\pi$ und $\Sterm{41}\in\Slang{L}_\pi$. \\[1ex]
 
 \only<3->{%
 Wir wissen nicht, ob man die Sprache $\Slang{L}_\pi$ entscheiden kann, aber sie könnte dennoch entscheidbar sein (z.B. wenn jede endliche Ziffernfolge irgendwo in $\pi$ vorkommt, was aber bisher nicht bekannt ist).}}
@@ -394,7 +394,7 @@
 Es gibt sogar Fälle, in denen wir sicher sind, dass ein Problem entscheidbar ist,
 aber trotzdem nicht wissen, wie man es löst.\\[1.5ex]\pause
 
-\examplebox{Beispiel: Sei $\Slang{L}_{\pi7}$ die Menge aller Ziffernfolgen der Form $\Sterm{7}^n$, die in der Dezimaldarstellung von $\pi$ vorkommen.\\[1ex]
+\examplebox{\emph{Beispiel:} Sei $\Slang{L}_{\pi7}$ die Menge aller Ziffernfolgen der Form $\Sterm{7}^n$, die in der Dezimaldarstellung von $\pi$ vorkommen.\\[1ex]
 
 \only<3->{
 $\Slang{L}_{\pi7}$ ist entscheidbar:
@@ -422,7 +422,7 @@
 
 \begin{frame}[t]\frametitle{Ein erstes unentscheidbares Problem (2)}
 
-\emph{Frage:} Falls eine TM \alert{mit $n$ Zuständen} und \alert{einem zwei-elementigen Arbeitsalphabet $\Gamma=\{\Sterm{x}, \blank\}$} auf einem \alert{leeren Band} anhält, wie lange kann das im schlimmsten Fall dauern?\\
+\emph{Frage:} Falls eine TM \alert{mit $n$ Zuständen} und \alert{einem zweielementigen Arbeitsalphabet $\Gamma=\{\Sterm{x}, \blank\}$} auf einem \alert{leeren Band} anhält, wie lange kann das im schlimmsten Fall dauern?\\
 \bigskip\pause
 
 \emph{Antwort:} Das kommt auf $n$ an \ldots\bigskip\pause
@@ -484,7 +484,7 @@
 
 % Wie schwer kann das schon sein \ldots?\pause
 
-\theobox{Satz: Die Busy-Beaver-Funktion ist nicht berechenbar.}
+\theobox{\emph{Satz:} Die Busy-Beaver-Funktion ist nicht berechenbar.}
 
 \pause
 \emph{Beweisskizze:} Nehmen wir an, $\bbfunc$ wäre berechenbar.\pause
@@ -578,7 +578,7 @@
 \bigskip
 
 \anybox{yellow}{
-Was erwartet uns als nächstes?
+Was erwartet uns als Nächstes?
 \begin{itemize}
 \item Relevantere Probleme
 \item Reduktionen

Vorlesungen/lecture-03.tex

@@ -256,7 +256,7 @@
 
 \end{frame}
 
-\begin{frame}\frametitle{LOOP-Berechenbare Funktionen}
+\begin{frame}\frametitle{LOOP-berechenbare Funktionen}
 
 \defbox{\emph{Definition:} Eine Funktion $\mathbb{N}^k\to\mathbb{N}$ heißt \redalert{LOOP-berechenbar}, wenn es ein LOOP-Programm gibt, das die Funktion berechnet.}\bigskip
 \pause
@@ -301,7 +301,7 @@
 
 Das ist weniger überraschend, als es vielleicht klingt:\smallskip
 
-\emph{Beweis:} Ein LOOP-Programm terminiert immer. Daher ist jede LOOP-berechenbare Funktion total. Es gibt aber auch nicht-totale Funktionen, die berechenbar sind (z.B. die ``partiellste'' Funktion, die nirgends definiert ist).\qed
+\emph{Beweis:} Ein LOOP-Programm terminiert immer. Daher ist jede LOOP-berechenbare Funktion total. Es gibt aber auch nichttotale Funktionen, die berechenbar sind (z.B. die ``partiellste'' Funktion, die nirgends definiert ist).\qed
 % \bigskip\pause
 % 
 % \theobox{Satz: Es gibt berechenbare totale Funktionen, die nicht LOOP-berechenbar sind.}\pause
@@ -346,7 +346,7 @@
 \end{itemize}\bigskip\pause
 
 \defbox{\emph{Definition:} Die Funktion $\bbfunc_{\textsf{LOOP}}:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ liefert für jede Zahl $\ell$ die größte Zahl $\bbfunc_{\textsf{LOOP}}(\ell)$, die ein LOOP-Programm der Länge $\leq\ell$ für eine leere Eingabe (alle Variablen sind $0$) ausgibt. Dabei sei
-$\bbfunc_{\textsf{LOOP}}(\ell)=0$ falls es kein Programm der Länge $\leq\ell$ gibt.
+$\bbfunc_{\textsf{LOOP}}(\ell)=0$, falls es kein Programm der Länge $\leq\ell$ gibt.
 }\pause
 
 \emph{Beobachtung:} $\bbfunc_{\textsf{LOOP}}$ ist wohldefiniert:
@@ -453,7 +453,7 @@
 }\bigskip\pause
 
 Semantik von $\SStartWhile{\Svar{x}}P~\SEndWhile{}$:\\
-$P$ wird ausgeführt solange der aktuelle Wert von $\Svar{x}$ ungleich $0$ ist.\\
+$P$ wird ausgeführt, solange der aktuelle Wert von $\Svar{x}$ ungleich $0$ ist.\\
 \textcolor{devilscss}{(dies hängt davon ab, wie $P$ den Wert von $\Svar{x}$ ändert)}
 \medskip
 
@@ -490,7 +490,7 @@
 
 \end{frame}
 
-\begin{frame}\frametitle{WHILE-Berechenbare Funktionen}
+\begin{frame}\frametitle{WHILE-berechenbare Funktionen}
 
 \defbox{\emph{Definition:} Eine partielle Funktion $f:\mathbb{N}^k\to\mathbb{N}$ heißt \redalert{WHILE-berechenbar}, wenn es ein WHILE-Programm $P$ gibt, so dass gilt:
 \begin{itemize}
@@ -630,7 +630,7 @@
 % \url{http://www.eugenkiss.com/projects/lgw/}\bigskip
 
 \anybox{yellow}{
-Was erwartet uns als nächstes?
+Was erwartet uns als Nächstes?
 \begin{itemize}
 \item Relevantere Probleme
 \item Reduktionen

Vorlesungen/lecture-04.tex

@@ -227,7 +227,7 @@
 
 \examplebox{\emph{Beispiel:} Die Goldbachsche Vermutung (Christian Goldbach, 1742) besagt, dass jede gerade Zahl $n\geq 4$ die Summe zweier Primzahlen ist. Zum Beispiel ist $4=2+2$ und $100=47+53$.}\pause
 
-Man kann leicht einen Algorithmus \Smach{A} angeben, der die Goldbachsche Vermuting systematisch verifiziert, d.h., für alle geraden Zahlen ab $4$ testet:
+Man kann leicht einen Algorithmus \Smach{A} angeben, der die Goldbachsche Vermutung systematisch verifiziert, d.h., für alle geraden Zahlen ab $4$ testet:
 \begin{itemize}
 \item Erfolg: teste die nächste gerade Zahl
 \item Misserfolg: terminiere mit Meldung "`Goldbach hat sich geirrt!"'
@@ -264,7 +264,7 @@
 % \alert{Wer rasiert den Barbier?}
 \alert{Akzeptiert $\Smach{D}$ die Eingabe $\textsf{enc}(\Smach{D})$?}\pause\\[1ex]
 
-\narrowcentering{$\Smach{D}$ hält und akzeptiert $\quad$ genau dann wenn $\quad$ $\Smach{D}$ nicht hält}\\[1ex]
+\narrowcentering{$\Smach{D}$ hält und akzeptiert $\quad$ genau dann, wenn $\quad$ $\Smach{D}$ nicht hält}\\[1ex]
 
 Widerspruch.\qed
 
@@ -319,7 +319,7 @@
 
 \begin{frame}\frametitle{Turing-Reduktionen: Beispiel}
 
-\examplebox{\emph{Beispiel:} Das Nicht-Halteproblem $\overline{\Slang{P}}_{\textsf{Halt}}$,
+\examplebox{\emph{Beispiel:} Das Nichthalteproblem $\overline{\Slang{P}}_{\textsf{Halt}}$,
 ist definiert als\\[1ex]
 \narrowcentering{$\overline{\Slang{P}}_{\textsf{Halt}} = \{\textsf{enc}(\Smach{M})\Sterm{\#}\Sterm{\#}\textsf{enc}(w)\mid \text{$\Smach{M}$ hält nicht bei Eingabe $w$}\}$}\\[1ex]
 %
@@ -329,7 +329,7 @@
 
 Daraus ergibt sich:\medskip
 
-\theobox{\emph{Satz:} Das Nicht-Halteproblem $\overline{\Slang{P}}_{\textsf{Halt}}$ ist unentscheidbar.}
+\theobox{\emph{Satz:} Das Nichthalteproblem $\overline{\Slang{P}}_{\textsf{Halt}}$ ist unentscheidbar.}
 
 \end{frame}
 
@@ -390,7 +390,7 @@
 \emph{Idee:} Im letzten Beweis verwendeten wir das $\epsilon$-Halteproblem nicht als Subroutine eines komplexen Programms, sondern wir formten das Halteproblem in ein $\epsilon$-Halteproblem um\bigskip
 
 \defbox{Eine berechenbare totale Funktion $f:\Sigma^*\to\Sigma^*$ ist eine \redalert{Many-One-Reduktion} von einer Sprache \Slang{P} auf eine Sprache \Slang{Q} (in Symbolen: $\Slang{P}\leq_m \Slang{Q}$), wenn für alle Wörter $w\in\Sigma^*$ gilt:\\[1ex]
-\narrowcentering{$w\in\Slang{P}\quad$ genau dann wenn $\quad f(w)\in\Slang{Q}$}}\pause\bigskip
+\narrowcentering{$w\in\Slang{P}\quad$ genau dann, wenn $\quad f(w)\in\Slang{Q}$}}\pause\bigskip
 
 \examplebox{\emph{Beispiel:} Die folgende Funktion definiert eine Many-One-Reduktion vom
 Halteproblem auf das $\epsilon$-Halteproblem:%\\%[-4ex]
@@ -464,7 +464,7 @@
 \bigskip
 
 \anybox{yellow}{
-Was erwartet uns als nächstes?
+Was erwartet uns als Nächstes?
 \begin{itemize}
 \item Mehr zu Semi-Entscheidbarkeit 
 \item Ein unentscheidbares Problem von Emil Post \ldots